因分解式 公式法

第四章  因分解式

3．公式法（一）

一、学生起点分析

学生的知识技能基础：学生在上几节课的基础上，已经基本了解整式乘法运算与因式分解之间的互逆关系，在七年级的整式的乘法运算的学习过程中，学生已经学习了平方差公式，这为今天的深入学习提供了必要的基础．

学生活动经验基础： 通过前几节课的活动和探索，学生对类比思想、数学对象之间的对比、观察等活动形式有了一定的认识与基础，本节课采用的活动方法是学生较为熟悉的观察、对比、讨论等方法，学生有较好的活动经验．

二、教学任务分析

学生在学习了用提取公因式法进行因式分解的基础上，本节课又安排了用公式法进行因式分解，旨在让学生能熟练地应对各种形式的多项式的因式分解，为下一章分式的运算以及今后的方程、函数等知识的学习奠定一个良好的基础。

本节课的具体教学目标为：

1．知识与技能：

（1）理解平方差公式的本质：即结构的不变性，字母的可变性； 

  （2）会用平方差公式进行因式分解；

（3）使学生了解提公因式法是分解因式首先考虑的方法，再考虑用平方差公式分解

2．过程与方法：经历探索利用平方差公式进行因式分解的过程，发展学生的逆向思维，渗透数学的“互逆”、换元、整体的思想，感受数学知识的完整性．

3．情感与态度：在探究的过程中培养学生独立思考的习惯，在交流的过程中学会向别人清晰地表达自己的思维和想法，在解决问题的过程中让学生深刻感受到“数学是有用的”。

三、教学过程分析

    本节课设计了八个教学环节：复习回顾——探究新知——范例学习——落实基础——能力提升——巩固练习——联系拓广——自主小结．

第一环节  复习回顾

活动内容：填空：

 （1）（x+5）（x–5） =                 ；

（2）（3x+y）（3x–y）=               ；

（3）（3m+2n）（3m–2n）=              ．

它们的结果有什么共同特征？

尝试将它们的结果分别写成两个因式的乘积：

活动目的：学生通过观察、对比，把整式乘法中的平方差公式进行逆向运用，发展学生的观察能力与逆向思维能力．

注意事项：由于学生对乘法公式中的平方差公式比较熟悉，学生通过观察与对比，能很快得出第一组式子与第二组式子之间的对应关系．

第二环节  探究新知

活动内容：谈谈你的感受。

结论：整式乘法公式的逆向变形得到分解因式的方法。这种分解因式的方法称为运用公式法。

活动目的：引导学生从第一环节的感性认识上升到理性认识，区别整式乘法与分解因式的同时，认识学习新的分解因式的方法——公式法。

注意事项：能正确理解两者的联系与区别即可。

活动内容：

说一说    找特征

(1)公式左边：（是一个将要被分解因式的多项式）

★被分解的多项式含有两项，且这两项异号，并且能写成（　）^２－（　）^２的形式。

(2)  公式右边:（是分解因式的结果）

★分解的结果是两个底数的和乘以两个底数的差的形式。

试一试    写一写

下列多项式能转化成（　）^２－（　）^２的形式吗？

如果能，请将其转化成（　）^２－（　）^２的形式。

活动目的：让学生通过自己的归纳找到因式分解中平方差公式的特征，并能利用相关结论进行实例练习。

注意事项：在老师的指导下，完善学生对公式特征的相关描述并得出结论。同时要求学生对于不能利用平方差公式进行分解因式的式子给出相应的解释。

第三环节  范例学习

活动内容：例1把下列各式因式分解：

  （1）25–16x²            （2）9a²–

活动目的：教师例题讲解，明确思维方法，给出书写范例。

注意事项: 使学生明确运用平方差公式进行分解因式的实质是找到“a”和“b”．

第四环节   落实基础

活动内容：

1、判断正误：

 （1）x²+y²=（x+y）(x–y)           (    )

 （2）x²–y²=（x+y）(x–y)          (    )

（3）–x²+y²=–（x+y）(x–y)       (    )

 （4）–x²–y²=–（x+y）(x–y)       (    )

2、把下列各式因式分解：

活动目的：通过学生的反馈练习，使教师能全面了解学生对平方差公式的特征是否清楚，对平方差公式分解因式的运用是否得当，因式分解的步骤是否真正了解，以便教师能及时地进行查缺补漏．

注意事项：落实基础此环节的练习设置均比较基础，就作为全体学生完成的目标．最后一题分解因式强调分解需彻底。

第五环节  能力提升

活动内容：例2把下列各式因式分解：

活动目的：进一步让学生理解平方差公式中的a、b不仅可以表示具体的数，而且可以表示其它代数式（注意使用整体方法进行教学），只要被分解的多项式能转化成平方差的形式，就能用平方差公式因式分解。同时让学生明白分解因式的结果必须彻底。总结分解因式的一般步骤：一提二套，多项式的因式分解要分解到不能再分解为止。

注意事项：在讲解使用整体法进行分解因式时，需注意强调括号前的系数变化和去括号后的符号变化，这往往是大多数学生容易出现的错误情况。

第六环节  巩固练习

教学内容：

1.把下列各式分解因式：

2.简便计算

活动目的：本课时设置的第二个练习反馈环节，旨在训练学生对整体换元思想的实际应用能力。

注意事项：在教师的引导下，规范书写步骤，避免在化简过程中出现不必要的错误．

第七环节  联系拓广

教学内容：

例3、如图，在一块边长为a的正方形纸片的四角，各剪去一个边长为b的正方形．用a 与b表示剩余部分的面积，并求当a=3.6，b=0.8时的面积．

问题解决：如图，大小两圆的圆心相同，已知它们的半径分别是R cm和r cm，求它们所围成的环形的面积。如果R=8.45cm,r=3.45cm呢？

活动目的：本课时的第3个例题讲解环节，旨在对因式分解进行实际应用问题讲解，同时设计了一道同类的同心圆面积的求解进而了解学生掌握情况。

注意事项：在实际应用中，部分学生对于例题因式分解的实际应用不能理解，他们没有采用因式分解的方法，而是利用计算器硬生生地计算出来．

第八环节  自主小结

活动内容：从今天的课程中，你学到了哪些知识？ 掌握了哪些方法？

活动目的：通过学生的回顾与反思，强化学生对整式乘法的平方差公式的与因式分解的平方差公式的互逆关系的理解，发展学生的观察能力和逆向思维能力，加深对类比数学思想的理解．

注意事项：学生认识到了以下事实：

（1）有公因式（包括负号）则先提取公因式；

（2）整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆关系；

（3）平方差公式中的a与b既可以是单项式，又可以是多项式；

课后作业：完成课本习题

四、教学设计反思

探索分解因式的方法实际上是对正是乘法的再认识，而本节正是对平方差公式的再认识：

1 本节课的教学设计借助于学生已有的整式乘法运算的基础，给学生留有充分探索与交流的时间和空间，让他们经历从整式乘法到分解因式的转换过程并能用符号合理的表示出分解因式的关系式，同时感受到这种互逆变形的过程和数学知识的整体性。

2 有意识的培养学生逆向思考问题的习惯，不仅对提高解题能力有益，更重要的是改善学生学习数学的思维方式，有助于形成良好的思维习惯，激发学生的创新开拓精神，培养良好的思维习性，提高学习效果、学习兴趣，及思维能力和整体素质．

3．保证基本的运算技能的训练，避免复杂的题型训练。